Andres Fernando Reyes Lega

Proyecto # INV-2021-128-2324 Descripción El programa de investigación propuesto en este documento corresponde a la continuación natural del trabajo que he desarrollado durante la última década en la universidad. Mi trabajo actualmente hace uso de herramientas de la geometría diferencial no-conmutativa, así como de la teoría de álgebras de operadores (álgebras C*, álgebras de von Neumann). Dichas herramientas tienen múltiples aplicaciones en física, y en el presente proyecto dan lugar a dos líneas principales de investigación, que describo a continuación. La primera está enfocada al estudio de la materia cuántica topológica. La geometría no-conmutativa permite generalizar la noción de número (o invariante) topológico de una forma que resulta muy apropiada para generalizar conceptos que hoy en día juegan un papel central en el estudio de nuevos estados de la materia. Uno de los objetivos de esta línea es explorar hasta qué punto los materiales topológicos son en realidad “robustos” ante perturbaciones de varios tipos, propiedad sobre la que se basa su gran relevancia. Los resultados obtenidos por nuestro grupo durante los últimos años [1-5] han dado lugar a nuevos e interesantes problemas. Entre estos se encuentra el estudio de efectos de temperatura en la caracterización de las propiedades topológicas de la materia cuántica. Durante los dos años anteriores, en nuestro grupo se logró relacionar distintas nociones de fase geométrica (fase de Uhlmann para matrices densidad y fase de Berry-Kato para estados puros) en un contexto que aprovecha al máximo la estructura del álgebra auto-dual. Los resultados de ese trabajo se encuentran en preparación para publicación, y forman parte de los resultados que esperábamos obtener con el programa de investigación anterior. Además de esto, en un trabajo reciente [1] (también resultado del programa de investigación anterior), hemos logrado estudiar en gran generalidad uno de los índices topológicos que son relevantes en el contexto de materiales topológicos (se trata de una versión general del índice Z_2 de Kitaev). El primer objetivo del presente proyecto consiste en estudiar la generalización de los resultados mencionados arriba al caso de interacciones. El problema de cómo definir adecuadamente invariantes topológicos para sistemas interactuantes es un problema abierto, de gran interés para las comunidades de física-matemática y de materiales topológicos. La segunda línea de investigación, que hace uso de las mismas herramientas matemáticas, está más orientada hacia el estudio de problemas de tipo estructural en teorías cuánticas de campos relativistas, con posibles aplicaciones a la física de agujeros negros y a la teoría de inflación en cosmología. Durante el anterior periodo (2020-2021), nuestro grupo realizó avances importantes en esta dirección, que esperamos completar y publicar durante el periodo 2022-2023. Entre estos se encuentran un estudio del problema de causalidad en la teoría de la medición en teoría cuántica de campos relativista, así como la extensión de los resultados obtenidos en la tesis doctoral de Juan Carlos Salazar sobre renormalización en espacio-tiempos no-conmutativos al contexto de pAQFT ("perturbative Algebraic Quantum Field Theory"). Este trabajo es especialmente relevante, ya que está directamente relacionado con la tesis doctoral de Juan Felipe López.

Proyecto # INV-2021-128-2324 Descripción El programa de investigación propuesto en este documento corresponde a la continuación natural del trabajo que he desarrollado durante la última década en la universidad. Mi trabajo actualmente hace uso de herramientas de la geometría diferencial no-conmutativa, así como de la teoría de álgebras de operadores (álgebras C*, álgebras de von Neumann). Dichas herramientas tienen múltiples aplicaciones en física, y en el presente proyecto dan lugar a dos líneas principales de investigación, que describo a continuación. La primera está enfocada al estudio de la materia cuántica topológica. La geometría no-conmutativa permite generalizar la noción de número (o invariante) topológico de una forma que resulta muy apropiada para generalizar conceptos que hoy en día juegan un papel central en el estudio de nuevos estados de la materia. Uno de los objetivos de esta línea es explorar hasta qué punto los materiales topológicos son en realidad “robustos” ante perturbaciones de varios tipos, propiedad sobre la que se basa su gran relevancia. Los resultados obtenidos por nuestro grupo durante los últimos años [1-5] han dado lugar a nuevos e interesantes problemas. Entre estos se encuentra el estudio de efectos de temperatura en la caracterización de las propiedades topológicas de la materia cuántica. Durante los dos años anteriores, en nuestro grupo se logró relacionar distintas nociones de fase geométrica (fase de Uhlmann para matrices densidad y fase de Berry-Kato para estados puros) en un contexto que aprovecha al máximo la estructura del álgebra auto-dual. Los resultados de ese trabajo se encuentran en preparación para publicación, y forman parte de los resultados que esperábamos obtener con el programa de investigación anterior. Además de esto, en un trabajo reciente [1] (también resultado del programa de investigación anterior), hemos logrado estudiar en gran generalidad uno de los índices topológicos que son relevantes en el contexto de materiales topológicos (se trata de una versión general del índice Z_2 de Kitaev). El primer objetivo del presente proyecto consiste en estudiar la generalización de los resultados mencionados arriba al caso de interacciones. El problema de cómo definir adecuadamente invariantes topológicos para sistemas interactuantes es un problema abierto, de gran interés para las comunidades de física-matemática y de materiales topológicos. La segunda línea de investigación, que hace uso de las mismas herramientas matemáticas, está más orientada hacia el estudio de problemas de tipo estructural en teorías cuánticas de campos relativistas, con posibles aplicaciones a la física de agujeros negros y a la teoría de inflación en cosmología. Durante el anterior periodo (2020-2021), nuestro grupo realizó avances importantes en esta dirección, que esperamos completar y publicar durante el periodo 2022-2023. Entre estos se encuentran un estudio del problema de causalidad en la teoría de la medición en teoría cuántica de campos relativista, así como la extensión de los resultados obtenidos en la tesis doctoral de Juan Carlos Salazar sobre renormalización en espacio-tiempos no-conmutativos al contexto de pAQFT ("perturbative Algebraic Quantum Field Theory"). Este trabajo es especialmente relevante, ya que está directamente relacionado con la tesis doctoral de Juan Felipe López.